(MatematikTarihi)Matematik Nedir? Ne Değildir? - Sayfa 2 - ilahi-Tr Forum

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:33

OBEB VEDE OKEK

ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB)
En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin
en büyüğüne bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir ve OBEB biçiminde gösterilir.
OBEB bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan
büyük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OBEB ini verir.

Eğer a ¹ 0 veya b ¹
0 ise OBEB tanımlı olup OBEB(a, b) ³ 1 dir.
a = b = 0 ise OBEB(a, b) tanımsızdır.

B. ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ (OKEK)

Hepsi sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının
en küçüğüne bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir ve OKEK biçiminde gösterilir.
OKEK bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan
küçük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OKEK ini verir.

a ve b tam sayılarından en az biri sıfır ise, OKEK(a, b) tanımsızdır.

a ve b pozitif tamsayı, a £ b ise,

OBEB(a, b) £ a £
b £ OKEK(a, b)
a . b = OBEB(a, b) . OKEK(a, b)
a ile b aralarında asal ise, OBEB(a, b) = 1

Ü
kesirleri
ile tam bölünen en küçük pozitif kesir

kesirleri ile tam bölünebilen en küçük pozitif kesir
Ü a ve b pozitif tam sayı olmak
üzere,

Ü İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların
OBEB i ile OKEK inin çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının
çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına her zaman eşit değildir.
Ü A pozitif tam sayısı a . b ile tam bölünebiliyor
ve OKEK(a, b) = x ise, A sayısı x ile tam bölünür.

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:34

MUTLAK DEĞER

A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel)
sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri
denir.
|x| biçiminde gösterilir.

border=0 width=”289″ height=”63″>

border=0 width=”184″ height=”89″>

Bütün x gerçel (reel)
sayıları için, |x| ³

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:36

MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır.
b denklik bağıntısı olduğundan
Her (a, b) Î b için,
a º b (mod m)
biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.
ise , a º b (mod m)
a º b + mk, k
Î Z
Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar:

0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir.

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların
her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik
sınıfları

0,
1,
2,
3,
4, … , (m – 1) dir.

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m
biçiminde gösterilir.
Buna göre, Z/m = {0,
1,
2,
3,
4, … , (m
– 1)} dir.

Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

a º b (mod m)
c º d (mod m)

olmak üzere,

1) a + c º b + d (mod m)

2) a – c º b – d (mod m)

3) a . c º b . d (mod m)

4) an º bn (mod m)

5) a – b º 0 (mod m)

6) k . a º k . b (mod m) dir.

7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak

böleni ise

a ile m ve b ile m aralarında asal olmak

üzere,

dir.

Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam

sayı ve m bir asal sayı ise,

xm – 1 º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

x ile m aralarında

asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi

m = ak . b r . c p ve

xT º 1 (mod m) dir.

m asal sayı ise ,

(m - 1)!+1 º 0 (mod n) idr

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:37

KÜMELER

TANIM

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış
listesidir.Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin
elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,

a Î
A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.”
diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï
A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin
elemanı değildir.” diye
okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi
kümeyi değiştirmez.

A kümesinin eleman sayısı s(A)
ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın
arasına virgül konularak yazılır.

A = {a, b, {a, b, c}} Ş
s(A) = 3 tür.

2. Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır
biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir
ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özelliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki”
diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

3. Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile
gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak
gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk
kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C º
D

biçiminde gösterilir.
Eşit
olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit
olmayabilir.

D. BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da Æ
sembolleri ile gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler
eşit olmayabilir.
{.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip
iki denk kümedir.

{Æ}
ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana
sahip iki denk kümedir.
E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME
1. Alt Küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya
B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì
B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi
A kümesini kapsıyor denir. B É
A biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse
C Ë
D biçiminde gösterilir.

2. Özalt Küme

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin
özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özellikleri
i) Her küme kendisinin alt kümesidir.

A Ì
A

ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Æ Ì
A

iii) (A Ì
B ve B Ì A) Û
A = B dir.

ıv) (A Ì
B ve B Ì C) Ş
A Ì C dir.

v) n
elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n
ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.

vı) n
elemanlı bir kümenin r tane (n ³
r) elemanlı alt kümelerinin sayısı

F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1. Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan
kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È
B biçiminde gösterilir.
A È B = {x : x Î
A veya x Î B} dir.

2. Birleşim Işleminin Özellikleri
i) A È
Æ = A

ii) A È
A = A

iii) A È
B = B È A

ıv) A È
(B È C) = (A È
B) È C

v) A Ì
B ise, A È B = B

vı) A È
B = Æ ise, (A = Æ
ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan
kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç
B
biçiminde gösterilir.
A Ç B = {x : x Î
A ve x Î B} dir.

4. Kesişim Işleminin Özellikleri
i) A Ç
Æ = Æ

ii) A Ç
A = A

iii) A Ç B =
B Ç A

ıv) (A Ç
B) Ç C = A Ç
(B Ç C)

v) A Ç
(B È C) = (A Ç
B) È (A Ç
C)

vı) A È
(B Ç C) = (A È
B) Ç (A È
C)

G. EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye,
evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı
olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A
ya da A’ ile gösterilir.

A = {x : x Î
E ve x Ï
A, A Ì E} dir.

Tümleyenin Özellikleri
i) E
= Æ

ii) Æ
= E

iii) ()
= A
iv) A È
A = E ve A Ç
A = Æ
dir. v) A È
B = A Ç
B

vı) A Ç
B = A È
B

vıı) E È
A = E ve E Ç
A = A
dir.vııı) A
Ì
B ise, B Ì
A dir.

I. KUVVET KÜMESI

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir.
Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.

J. İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A
fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.
A – B = {x : x Î
A ve x Ï
B} dir.

Farkla Ilgili Özellikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

i) E – A = A

ii) A – B = A Ç
B

iii) A – B = A
È B dir.
ıv) (A – B) È
(B – A) = A D
B (Simetrik Fark)

K. ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

i) s(A È
B) = s(A) + s(B) – s(A Ç
B)

ii) s(A È
B È C) = s(A) + s(B)
+ s(C) – s(A Ç B)
– s(A Ç C)

– s(B Ç
C) + s(A Ç B Ç
C)

iii) s(A È B)
= s(A – B) + s(A Ç
B) + s(B – A)

ıv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta
voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis
oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve
tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç
V) = b olsun.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T È
V) = a + b + c
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c
Sadece tenis oynayanların sayısı:
s(T – V) = a
Tenis oynamayanların sayısı:
s(T) =
c + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:
s(T È
V) = a + b + c
Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:
s(A Ç
B) = s(A È
B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c
Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:
s(A È
B) = d

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:38

KÖKLÜ VEDE KAREKÖKLÜ SAYILAR

A. TANIM

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
xn
= a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci dereceden kökü denir.

B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ

n tek ise,

daima reeldir.
n çift ve a < 0 ise,
reel sayı belirtmez.
a ³
0 ise, daima reeldir.
a ³
0 ise,
n tek ise,
n çift ise,
n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere,
ne tek ise
a pozitif reel (gercel) sayı olmak üzere ;
k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak
üzere;
(a ¹ 0 ve b ¹ 0) ise,

C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN
İŞLEMLER
1. Toplama - Çıkarma
Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da
birbirine eşit olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.
Bulunan sonuç köklü ifadenin katsayısı olur.

2. Çarpma
n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak
üzere,
i)

ii)

iii)

4. Paydayı Kökten Kurtarma
Uygun koşullarda,
i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

vii)

D. İÇ İÇE KÖKLER
i)

ii)

iii)

iv)

v) 0<y<x olmak üzere,

E. SOZSUZ KÖKLER

Yukarıdaki son iki özellikte a. ardışık iki pozitif tam
sayının çarpımı ise v. ‘nin cevabı bu sayıların büyüğü vi‘nin cevabı
bu sayıların küçüğüdür
F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA
Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda
,kök içindeki sayıların büyüğüne göre sıralama yapılır.

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:42

KARTEZYEN ÇARPIM VEDE BAĞINTILARI

A. SIRALI n Lİn tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi
düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen,
b : İkinci bileşendir.
a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b,
a) dır.
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.
B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni
B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin
kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î
B} dir.
A ¹ B ise, A x B ¹ B x
A dır.
C. KARTEZYEN ÇARPIMININ
ÖZELLİKLERİ
i) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.
ii) A x (B x C) = (A x B) x C
iii) A x (B È C) = (A x B)
È (A x C)
iv) (B È C) x A = (B x A)
È (C x A)
v) A x (B Ç C) = (A x B)
Ç (A x C)
vı) A x Æ = Æ x
A = Æ
vıı)

D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı
denir.
Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.
b Ì A x B ise,
b = {(x, y) : (x, y) Î A x
B} dir.
s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.
A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı
sayısı
b Ì A x B olmak üzere,
b = {(x, y) : (x, y) Î
A x B} bağıntısının tersi
b-1 Ì B x A
dır.
Buna göre, b bağıntısının tersi
b-1 = {(y, x) : (x, y)
Î b} dır.
E. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
1. Yansıma Özelliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x)
b ise, b yansıyandır.
“x Î A için, (x, x) Î
b® b yansıyandır.
2. Simetri Özelliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x)
Î b ise, b simetriktir.
“(x, y) Î b için (y, x) Î
b ® b
simetriktir.
b bağıntısı simetrik ise b = b-1
dir.
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n2
- n) dir.
3. Ters Simetri Özelliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken “(x, y) Î b için (y, x)
Ï b ise, b ters simetriktir.
b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz.
4. Geçişme Özelliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
“[(x, y) Î b ve (y, z) Î
b] için (x, z) Î b ise,

olmalı
b bağıntısının geçişme özelliği vardır.
F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1. Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa
denklik bağıntısıdır. b denklik bağıntısı ve (x, y) Î
b ise, x denktir. y ye denir.
x º y biçiminde gösterilir.
b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların
kümesine a nın denklik sınıfı denir.
–a biçiminde gösterilir.
Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
–a = {y : y Î A ve (a, y) Î
b} olur.
2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa
bağıntı sıralama bağıntısıdır.

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:43

FONKSİYONLAR

A. TANIM

A ¹ Æ ve B
¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı
verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez
ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar
f ile gösterilir.
“ x Î A ve
y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ®
f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat
her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt
kümesidir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı
2m . n – nm dir.

Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon
olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu
doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı
kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.

f : A ® IR
g : B ® IR

olmak üzere,

i) f ± g: A Ç B
® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii) f . g: A Ç B ® IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon
bire birdir.
“ x1, x2
Î A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n
³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon
denir.
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) … 3
. 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde
eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı

mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile
gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana
eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü “x
Î A ve c Î B için

f : A ® B
f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy
eksenine göre simetriktir.
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine
göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

f : A ® B
g : A ® B

“x Î A için
f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna
permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1
de fonksiyondur.

Ü Uygun koşullarda,
f(a) = b Û f
– 1(b) = a dır.
Ü f : IR
® IR, f(x) = ax + b ise, f –
1(x) =

dır.

Ü (f – 1) – 1
= f dir.
Ü (f – 1(x)) – 1
¹ f(x) tir.
Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y
= f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Ü B Ì IR
olmak üzere,

Bu resim küçültülmüştür.Orjinal boyutu için tıklayınız...

Ü B Ì IR
olmak üzere,

Bu resim küçültülmüştür.Orjinal boyutu için tıklayınız...

G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım
f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna
f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.

2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog ¹ gof
Bazı fonksiyonlar için
fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme
özelliği olmadığını değiştirmez.
ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

iii)
foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz)
elemanıdır.
iv)
fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.
v)
(fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.

TaLia · 03-03-2008, 23:48

epey emek etmişsin ayyıldız cım... emeğine sağlık ama itiraf edeyim okumadım

şimdiye kadar yeterince ilgilendim matla... :artık sadece lazım olduğu adarıyla ilgileniyorum

... GöZYaŞıM ... · 04-03-2008, 11:10

Eyvallah balamm.. Ben yeni yeni ilgilenmeye başladım ondan ekleyim dedimm.. Bu arada külliyen alıntıdır..

k-a-a-n · 04-03-2008, 11:25

matematik hayattır
katılıyorum
emeğin için tebrik ederim kardeşim

03-03-2008, 16:33	#11
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,249	OBEB VEDE OKEK ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB) En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir ve OBEB biçiminde gösterilir. OBEB bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan büyük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OBEB ini verir. Eğer a ¹ 0 veya b ¹ 0 ise OBEB tanımlı olup OBEB(a, b) ³ 1 dir. a = b = 0 ise OBEB(a, b) tanımsızdır. B. ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ (OKEK) Hepsi sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir ve OKEK biçiminde gösterilir. OKEK bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan küçük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OKEK ini verir. a ve b tam sayılarından en az biri sıfır ise, OKEK(a, b) tanımsızdır. a ve b pozitif tamsayı, a £ b ise, OBEB(a, b) £ a £ b £ OKEK(a, b) a . b = OBEB(a, b) . OKEK(a, b) a ile b aralarında asal ise, OBEB(a, b) = 1 Ü kesirleri ile tam bölünen en küçük pozitif kesir kesirleri ile tam bölünebilen en küçük pozitif kesir Ü a ve b pozitif tam sayı olmak üzere, Ü İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına her zaman eşit değildir. Ü A pozitif tam sayısı a . b ile tam bölünebiliyor ve OKEK(a, b) = x ise, A sayısı x ile tam bölünür.

03-03-2008, 16:34	#12
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,249	MUTLAK DEĞER A. TANIM Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir. \|x\| biçiminde gösterilir. border=0 width=”289″ height=”63″> border=0 width=”184″ height=”89″> Bütün x gerçel (reel) sayıları için, \|x\| ³

03-03-2008, 16:36	#13
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,249	MODÜLER ARİTMETİK a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan, b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler} bir denklik bağıntısıdır. b denklik bağıntısı olduğundan Her (a, b) Î b için, a º b (mod m) biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir. ise , a º b (mod m) a º b + mk, k Î Z Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar: 0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir. Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları 0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir. Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m biçiminde gösterilir. Buna göre, Z/m = {0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1)} dir. Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve a º b (mod m) c º d (mod m) olmak üzere, 1) a + c º b + d (mod m) 2) a – c º b – d (mod m) 3) a . c º b . d (mod m) 4) an º bn (mod m) 5) a – b º 0 (mod m) 6) k . a º k . b (mod m) dir. 7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir. Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır. x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise, xm – 1 º 1 (mod m) dir. x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir. x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi m = ak . b r . c p ve xT º 1 (mod m) dir. m asal sayı ise , (m - 1)!+1 º 0 (mod n) idr

03-03-2008, 16:38	#15
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,249	KÖKLÜ VEDE KAREKÖKLÜ SAYILAR A. TANIM n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci dereceden kökü denir. B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ n tek ise, daima reeldir. n çift ve a < 0 ise, reel sayı belirtmez. a ³ 0 ise, daima reeldir. a ³ 0 ise, n tek ise, n çift ise, n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere, ne tek ise a pozitif reel (gercel) sayı olmak üzere ; k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak üzere; (a ¹ 0 ve b ¹ 0) ise, C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN İŞLEMLER 1. Toplama - Çıkarma Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır. Bulunan sonuç köklü ifadenin katsayısı olur. 2. Çarpma n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere, i) ii) iii) 4. Paydayı Kökten Kurtarma Uygun koşullarda, i) ii) iii) iv) v) vi) vii) D. İÇ İÇE KÖKLER i) ii) iii) iv) v) 0<y<x olmak üzere, E. SOZSUZ KÖKLER Yukarıdaki son iki özellikte a. ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise v. ‘nin cevabı bu sayıların büyüğü vi‘nin cevabı bu sayıların küçüğüdür F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda ,kök içindeki sayıların büyüğüne göre sıralama yapılır.

03-03-2008, 16:43	#17
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,249	FONKSİYONLAR A. TANIM A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir. “ x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)} biçiminde de gösterilir. Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir. Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir. B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir. Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur. B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM f ve g birer fonksiyon olsun. f : A ® IR g : B ® IR olmak üzere, i) f ± g: A Ç B ® IR (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) ii) f . g: A Ç B ® IR (f . g)(x) = f(x) . g(x) C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ 1. Bire Bir Fonksiyon Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir. “ x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir. Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı 2. Örten Fonksiyon Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. f : A ® B f(A) = B ise, f örtendir. Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) … 3 . 2 . 1 dir. 3. İçine Fonksiyon Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir. Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir. 4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. f : IR ® IR f(x) = x birim (etkisiz) fonksiyondur. Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. 5. Sabit Fonksiyon Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. Ü “x Î A ve c Î B için f : A ® B f(x) = c fonksiyonu sabit fonksiyondur. Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere, A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir. 6. Çift ve Tek Fonksiyon f : IR ® IR f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur. f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur. Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir. Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. D. EŞİT FONKSİYON f : A ® B g : A ® B “x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir. E. PERMÜTASYON FONKSİYONU f : A ® A olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir. A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A f = {(a, b), (b, c), (c, a)} fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup F. TERS FONKSİYON f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur. Ü Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır. Ü f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır. Ü (f – 1) – 1 = f dir. Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir. Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir. Ü B Ì IR olmak üzere, Bu resim küçültülmüştür.Orjinal boyutu için tıklayınız... Ü B Ì IR olmak üzere, Bu resim küçültülmüştür.Orjinal boyutu için tıklayınız... G. BİLEŞKE FONKSİYON 1. Tanım f : A ® B g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur. (gof)(x) = g[f(x)] tir. 2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. fog ¹ gof Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez. ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır. fo(goh) = (fog)oh = fogoh iii) foI = Iof = f olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır. iv) fof – 1 = f – 1of = I olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir. v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.

03-03-2008, 16:37	#14
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,249	KÜMELER TANIM Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise, a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur. Kümede, aynı eleman bir kez yazılır. Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir. B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir. 1. Liste Yöntemi Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. A = {a, b, {a, b, c}} Ş s(A) = 3 tür. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. A = {x : (x in özelliği)} Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur. Bu ifade “x \|” biçiminde de yazılabilir. 3. Venn Şeması Yöntemi Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir. C. EŞİT KÜME, DENK KÜME Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A kümesi B kümesine eşit ise A = B, C kümesi D kümesine denk ise C º D biçiminde gösterilir. Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir. D. BOŞ KÜME Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir. Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir. {.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir. {Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir. E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME 1. Alt Küme A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B É A biçiminde gösterilir. C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir. 2. Özalt Küme Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir. 3. Alt Kümenin Özellikleri i) Her küme kendisinin alt kümesidir. A Ì A ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir. Æ Ì A iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir. ıv) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir. v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir. vı) n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER 1. Kümelerin Birleşimi A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir. A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir. 2. Birleşim Işleminin Özellikleri i) A È Æ = A ii) A È A = A iii) A È B = B È A ıv) A È (B È C) = (A È B) È C v) A Ì B ise, A È B = B vı) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir. 3. Kümelerin Kesişimi A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir. A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir. 4. Kesişim Işleminin Özellikleri i) A Ç Æ = Æ ii) A Ç A = A iii) A Ç B = B Ç A ıv) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) v) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) vı) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) G. EVRENSEL KÜME Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir. H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A’ ile gösterilir. A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir. Tümleyenin Özellikleri i) E = Æ ii) Æ = E iii) () = A iv) A È A = E ve A Ç A = Æ dir. v) A È B = A Ç B vı) A Ç B = A È B vıı) E È A = E ve E Ç A = A dir.vııı) A Ì B ise, B Ì A dir. I. KUVVET KÜMESI Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir. s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir. J. İKİ KÜMENİN FARKI A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir. A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir. Farkla Ilgili Özellikler A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, i) E – A = A ii) A – B = A Ç B iii) A – B = A È B dir. ıv) (A – B) È (B – A) = A D B (Simetrik Fark) K. ELEMAN SAYISI A, B, C herhangi birer küme olmak üzere, i) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B) ii) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C) iii) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A) ıv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun. Tenis veya voleybol oynayanların sayısı: s(T È V) = a + b + c Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı: s(T – V) + s(V – T) = a + c Sadece tenis oynayanların sayısı: s(T – V) = a Tenis oynamayanların sayısı: s(T) = c + d Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı: s(T È V) = a + b + c Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı: s(A È B) = d

03-03-2008, 16:42	#16
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,249	KARTEZYEN ÇARPIM VEDE BAĞINTILARI A. SIRALI n Lİn tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir. (a, b) sıralı ikilisinde; a : Birinci bileşen, b : İkinci bileşendir. a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır. (a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir. B. KARTEZYEN ÇARPIM A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir. A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir. A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir. A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır. C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ i) s(A) = m ve s(B) = n ise s(A x B) = s(B x A) = m . n dir. ii) A x (B x C) = (A x B) x C iii) A x (B È C) = (A x B) È (A x C) iv) (B È C) x A = (B x A) È (C x A) v) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C) vı) A x Æ = Æ x A = Æ vıı) D. BAĞINTI A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir. Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir. b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir. s(A) = m ve s(B) = n ise, A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir. A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir. s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı b Ì A x B olmak üzere, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi b-1 Ì B x A dır. Buna göre, b bağıntısının tersi b-1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır. E. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ b, A da tanımlı bir bağıntı olsun. 1. Yansıma Özelliği A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) b ise, b yansıyandır. “x Î A için, (x, x) Î b® b yansıyandır. 2. Simetri Özelliği b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir. “(x, y) Î b için (y, x) Î b ® b simetriktir. b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir. s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n2 - n) dir. 3. Ters Simetri Özelliği b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun. x ¹ y iken “(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir. b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz. 4. Geçişme Özelliği b, A da tanımlı bir bağıntı olsun. “[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise, olmalı b bağıntısının geçişme özelliği vardır. F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ 1. Denklik Bağıntısı b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun. b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır. b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir. y ye denir. x º y biçiminde gösterilir. b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir. –a biçiminde gösterilir. Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi, –a = {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur. 2. Sıralama Bağıntısı A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.

03-03-2008, 23:48	#18
TaLia Yarbay Katılım Tarihi: Jan 2007 Mesajlar: 4,390	epey emek etmişsin ayyıldız cım... emeğine sağlık ama itiraf edeyim okumadım şimdiye kadar yeterince ilgilendim matla... :artık sadece lazım olduğu adarıyla ilgileniyorum

04-03-2008, 11:10	#19
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,249	*Eyvallah balamm.. Ben yeni yeni ilgilenmeye başladım ondan ekleyim dedimm.. Bu arada külliyen alıntıdır..*

04-03-2008, 11:25	#20
k-a-a-n Onbaşı Katılım Tarihi: Feb 2008 Yaş: 26 Mesajlar: 46	matematik hayattır katılıyorum emeğin için tebrik ederim kardeşim

Konu Araçları
Yazıcı Çıktısını Göster Sayfayı Eposta ile Yolla