(MatematikTarihi)Matematik Nedir? Ne Değildir? - ilahi-Tr Forum

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:17

İnsanlar arasındaki bir takım gereksinmelerden matematik doğmuştur. Tarihi incelersek; ilk çağlarda bile bugün bilgisayarlarda kullanılan ikili sistemin Mısır aritmetiğinde kullanıldığını görürüz. Yine o çağlarda dairenin çevresini, Nil Nehri’nin taşma zamanlarını saptamak için mevsimleri ve böylece 365 günü içeren takvimlerin hazırlandığını belirleriz. Başka ülkelerin bilimlerini inceleyen yunanlılarda ilk köklü bilgileri mısırlılardan öğrenmiş oldular. Yine geçerliliğini her zaman koruyan “Bir dik açılı üçgenin uzun kenarının karesinin, öteki iki kenarın kareleri toplamına eşit olduğunu” belirten ünlü Pisagor Teoremi M.Ö. 570 yıllarında kanıtlanmıştır. Hintliler bugün de tüm dünyada kullanılan 0 ıda içeren onluk sayı sistemini kurmuşlardır. En büyük Arap matematikçisi El-Harizmi (780-850) cebirin kurucusudur. Orta çağ Avrupa matematiği bu bilginin eserlerinden oluşmaktadır. Araplar dünyaya eski ve çağdaş bilim konusunda eşsiz hizmette bulundular. Hint ve Çin buluşlarını dünyaya tanıttılar. Ancak modern bilimin kurucusu olamadılar.
Tüm ilkel toplumlarda ticaret takastan öte bir nitelik kazanır kazanmaz sayı ve ölçü kavramları gelişti. Sayı kavramı matematiğin temelini oluşturur. Sayılar çiftçilerin ürünlerini sayma gereksinmesinden doğmuştur. Sayılar alışverişi de olanaklı kılan para sistemlerinin ortaya çıkmasına yol açmıştır. Daha sonra yunanlılar matematiksel usa vurmayı mantıksal bir temele oturtarak ve böylece kendilerini kanıtlayıcı olmayan önermelerin, temel varsayımlardan çıkarılabilmesini sağlayarak matematiği kesin bir bilim dalı haline getirdiler. Ayrıca müzik ve resimle ilişkiler kurarak mantıksal düşünüşlerini sanatları da içerecek biçimde genişlettiler. Fakat matematik 16. yüzyıla dek pek fazla gelişmedi. Günümüzde tüm dünya eşi görülmemiş bir değişim yaşamaktadır.
İnsanlar günlük yaşamda sık sık aritmetikten yararlanmakla birlikte üzerinde hemen hemen hiç düşünmezler. Örneğin; günlük dilde kullandığımız bir çok sözcüğün anlamını da pek bilmeyiz. Sorulursa şaşırırız, bocalarız. Aslında düşünmeden yaptığımız bir çok davranışın nedenlerini de araştırmayız. Herhangi bir şey satın alan biri ödediği ücreti ve geri aldığı para üstünü sayarken ticaretin başladığı dönemden beri kullanılan bilgileri kullandığını fark etmez bile, temel toplama ve eşitlik kavramlarını kullandığını düşünmez.
Aritmetiğin dört temel işlemi vardır. Bunlar toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir. Bu dört temel kural yaşamın her safhasında geçerliliğini yitirmez. Okullarımızda birkaç yıldan beri matematik dersleri öğretim programları Modern Matematik adıyla okutulmaktadır. Neden Modern Matematik denildiğini bir türlü anlayamıyorum. Tüm öğrenciler, veliler buna tepki gösteriyor. Tepkinin en fazlası ise “çocuklarımız dört işlemi öğrenemiyorlar” savınadır. Oysa bu sav tümüyle yanlış. Dört işlem de öğretiliyor yaşam için gereksinim duyulan tüm konular da. Öğrencinin sınıfları değiştikçe konuları da değişecektir. Matematikte gelişerek devam edecektir. Her şeyden önemlisi içinde yaşadığımız dünyada bilim, teknik geliştikçe bizde bu değişime ayak uyduracağız. Değişimleri eğitim yaşantımıza uygulamak zorundayız. Dün 20. yüzyıldı bugün 21. yüzyıl. Dün daktilo ile yazıyorduk, bugün bilgisayarla ve dünya parmaklarımızın ucunda.
Biz tekrar dört işleme dönelim. Bunların bir çoğu sadece sağduyu yoluyla ortaya konmuş olan temel yasalar izlenerek yapılır. Değişme özeliği hem toplamada hem çarpmada vardır. Bu yasa yalnızca 7 ile 5 in toplama örneğinde olduğu gibi 7+5 ya da 5 ile toplama örneğindeki 5+7 nin toplamına eşit olduğunu söyler. Başka bir deyişle sayıları toplama sırası önemli değildir. Aynı özelik çarpma işleminde de vardır. 4×3 çarpma işlemi 3×4 olarak gösterilirse sonuç değişmez. Bu bize matematik programının değişmesiyle matematiğe çağdaş bir boyut kazandırdığımızı anlatıyor. Bu boyut matematiğe giren yorumdur. 2×2 her zaman 4 değildir. Çok eskiden televizyonda zevkle izlediğimiz bir dizi vardı.”Gökyüzü Prensleri” Adım adım uçağın evrimini anlatmaktaydı. Burada uçağı evrimleştirenlerin nasıl uğraş verdiklerini izledik. Matematiği kullanarak önce kağıt üzerinde uçağın modelini yaptılar. Yaptıkları matematik işlemleri ile uçağın havada ne kadar kalacağını hesapladılar. Bu bizim matematikte yaptığımız birebir eşleme yöntemidir. Aslında eşelemeye çok daha tanıdık bir çok örnek verebiliriz. Harita dünya üzerindeki noktalarla birebir eşlemedir. Dikkat ettiniz mi? Konuşmaya yeni başlayan bir çocuk elinin parmaklarıyla evdeki insanları eşleyerek sayar. Alışveriş yaptığımızda parayla, aldığımız malı eşleriz.
Sayı kavramı matematiğin temel bir kavramıdır demiştik. Oysa sayı yaşamın temel bir kavramıdır. Tek ile çok arasındaki kavramı çocuk çok iyi kavrar. Deniz kıyısında bir çok çakıl taşı gören bir çocuk bunların arasından sadece bir tane alabilir. Bir avuç aldığı zaman toplamdan az ama bir taneden fazla aldığını bilir. Kaç taşa sahip olduğu konusunda bir fikir edinebilmek için elindeki taşları sayar. Örneğin 15 kalem. Burada “15″ adet bildirmektedir. 15 t0p, 15 martı, 15 ekmek gibi. Sayılabilecek tüm cisimlerin ortak bir özeliğidir. Yetişkin insanlar bir çok temel kavramı anlamakta zorluk çekerler ama çocuklar yaşamlarının ilk evrelerinde bu kavramlar konusunda sezgisel bir anlayışa sahiptirler. Her aile bir kümedir. Anne, baba ve çocuklar. Bir çok ailenin oluşturduğu kümeler topluluğu evrensel kümeyi oluşturur. Her aile alt parçalara ayrılabilir. Bunlara alt kümeler denir. İki küme kesişebilir veya birleşebilir. Oluşan yeni kümelere kesişim veya birleşim kümeleri denir. Küme işlemlerindeki kesişim ve birleşim, mantıktaki niceleyicilerin karşılığıdır. Bu ilişki kümelerdeki bazı önermelerin mantıksal önermelerle ifade edilmesini mümkün kılar. Öyleyse matematik çağdaş yaşamla iç içedir. Her zaman moderndir. Biri diğerinden soyutlanamaz.
Ölçme bugün yaşamımızda büyük bir yer tutar. Fizik dersinde yaptığımız aynı deneyin sonuçlarının farklı gruplarının farklı ölçülerle değerlendirildiğini görürüz. Bu o deneydeki geçerliliği mi kanıtlar? Hayır sadece ölçmede farklılıklar vardır. “Burada en doğru ölçümü kim yapmıştır?” diye sorabiliriz. Yanıt ” Tüm öğrencilerdir.” Farklılık ölçü aletlerinin kullanılış biçiminde kaynaklanmış olabilir. Yeri gelmişken kimin yazdığını bilmediğim bir öyküyü anlatmadan geçemeyeceğim. Dört kişiden biri kimyacı, biri fizikçi, biri matematikçi ve bir diğeri de insan bilimcidir. Her birine birer barometre verilerek bir kilise kulesinin yüksekliğini ölçmeleri söyleniyor. Kimyacı gazlar konusunda her şeyi biliyordu. Kulenin altındaki ve üstündeki hava basınçlarını ölçtü (0-60) metre arasında dedi. Fizikçi pahalı araçları umursamazca kullanmaya alışkındı. Barometresini kuleden aşağı attı ve düşüş süresini ölçerek yüksekliği (22-27) metre arasında hesapladı. Matematikçi kulenin gölgesinin uzunluğunu barometrenin uzunluğu ile karşılaştırdı ve (30-30,5) metre arasında dedi. İnsan bilimci ise barometreyi sattı elde ettiği parayla kilisenin zangocuna birkaç kadeh içki ısmarladı. Ve kule yüksekliğinin 30,4 metre olduğunu öğrendi. Bu öyküden de anlaşılacağı gibi değişik ölçmelerin değişik sonuçlar vereceği ortadadır. Modern dünyada yaşam büyük ölçüde insanın kesin ölçümler yapabilme yeteneğine bağlıdır. Dünyanın çeşitli yerlerinde ölçümler için uzunluk, zaman, kütle, gerilim ve bir çokları için standart ölçü birimleri kullanılır. Bunun sonucu olarak Japonya’da yapılan bir mil yatağı beş yıl önce Almanya’da yapılmış olan bir motor miline tıpatıp uyabilir.
Sümerler bir elin parmakları olan 10 sayısını ve onluk sayma sistemini kullanmışlardır. 12 aralığını bularak zamanı saatle, 60 sayısından yararlanarak zamanı ölçen saati, dakikayı, saniyeyi bulmuşlardır. Hiçbir şey birden ortaya çıkmamıştır. Ama matematik bir gereksinmedir. Yaşamın bir parçasıdır. Yaşamın her evresi matematiktir. Doğru düşünme kurallarını öğretir. Düşünce ile somut kavramlar arasında bağıntı kurar. Sosyal ve bilimsel gelişme sürecini çabuklaştırır. İnsan zekasını geliştirir. Bunun en yakın örneği; 10 yaşındaki bir öğrencinin bir üniversitenin matematik bursunu kazanmasıdır. Aslında her çocuk doğduğunda bir harikadır. Onu işlemek yaşamın en ileri seviyesine götürmek eğitmek güç iştir. Kendimizden vermeden, sürekli alarak hem matematik hem de hiçbir şey öğretilemez. Başarılı olmak değil, öğrenmek bile mümkün değildir. Matematik tüm yaşamdır. Yaşamı seviyoruz, öyleyse matematiği de sevmeliyiz. önermesinin doğruluk değeri daima 1 olmalıdır. Gelişen, değişen, hem de hızla değişen dünyaya seyirci kalamayız.
Büyük insan önderimiz Atatürk matematiği dilimizde daha anlaşılır bir biçime getirmiştir. Ona yaşamımızı borçluyuz. Bizzat kendisi matematikte kullanılan terimlerin adlarını bizim anlayabileceğimiz günlük konuşma dilimize çevirmiştir. Bugün doğru düşünebiliyorsak onun sayesindedir. İleriyi gören bakışları sayesinde bizi uygarlık seviyesinin üstüne çıkarmıştır. Bugün bilimin her dalında araştırma yapıp dünyaya kendini kanıtlamış bilim adamlarımız vardır. Ulusumuzu, vatanımızı her şeyden önemlisi insanlarımızı severek sürdür düğümüz eğitim ve öğretimimizde her an öğrenmeğe araştırmaya ve uygar olmaya özen göstermeliyiz.

Matematik yaşamın kendisidir.

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:18

MATEMATİK DOĞADA VAR MIDIR ?

Matematiksel kavramlar doğada var mıdır? Olmadığını savunanlar var. Aşağı yukarı şöyle savunuyorlar:
Doğada matematiksel bir nokta yoktur örneğin. Çünkü matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gözlemlenebilir. Kalemi kâğıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz “nokta” boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. Elektronun, üç boyutu ve az da olsa bir ağırlığı vardır. “İşte nokta” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır. “Nokta” kavramı insanların uydurması/yaratısıdır.
Doğada matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kâğıdın üstüne çizdiğimiz “düz” çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne denli ince yazarsa yazsın, çizdiğimiz her “düz” çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.
Doğada “sonsuz” da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır.
Doğada pi sayısı da yoktur. Çünkü pi sayısı 3,141592653589… diye sonsuza uzayıp giden (uzayıp gitmesi gereken) bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir düzene göre de yinelenmezler. Bu yüzden, yani sonsuz olmadığından doğada pi de yoktur. Kimse pi’yi tam olarak yazamaz. pi’yi, bir çemberin (dairenin) çapına bölündüğünde elde edilen sayı olarak tanımlamak, pi’nin doğada olduğunu göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp bölme işlemini yaptığımızda, pi’yi değil, pi’ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember yoktur! Doğada “işte çember” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin yarattıkları bir kavramdır . Zaten uygulamada hiçbir zaman pi gibi gerçel sayılara gereksinmeyiz. 3,14159 = 314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamada yeterlidir. Bu da, pi’nin doğada olmadığı savını desteklemez mi?

Doğada pi olmadığı gibi, 0,9999999… sayısı da yoktur . Çünkü bu sayıyı yazmak için virgülden sonra sonsuz tane 9 koymalıyız ve ne yazık ki bu iş için yeterince zamanımız yoktur!
Doğada “bir” yoktur. Doğada olsa olsa “bir elma, bir armut” vardır. Ama doğada “bir” yoktur. Hatta doğada “bir elma” bile yoktur. Elmayla elmanın bulunduğu ortam arasındaki sınır tam belli değildir ki! Elmayla, elmanın bulunduğu ortam arasında sürekli molekül alışverişi vardır. Örneğin çürümeye yüz tutan bir elmanın tam ne zaman elmalıktan çıktığını söyleyebilir miyiz?
Her şey değiştiğinden, hiçbir şey olduğu gibi kalmadığından doğada “bir” yoktur. Doğada “bir” olmadığı gibi başka sayı da yoktur. Sayıları insanlar yaratmışlardır.
Ya sıfır? Sıfır var mıdır doğada? Sıfır, olmayan nesne sayısıdır. Olan nesneleri sayamadığımızı yukarda gördük, olmayan nesneleri saymak daha da zor olsa gerek !
Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur. Daha soyut kavramları hele hiç yoktur!
Matematiğin doğada olmadığı herhalde üç aşağı beş yukarı böyle savunulur.
Bu felsefi hatta metafizik düşünceler hafife alınmamalı. Bir örnek daha vererek bu düşüncelerin yabana atılmaması gerektiğini göstereyim. Bildiğimiz uzayda iki nokta ele alalım. Bu iki nokta arasındaki uzay parçasının bir uzunluğu vardır. Diyelim 1 metre. Bu 1 metreyi ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz iki yarım metrenin herbirini de ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz çeyrek metreleri de ikiye bölebiliriz. Kuramsal olarak her sayıyı ikiye bölebileceğimizden, bölme işlemini sonsuza değin yapabiliriz. Sonsuza değin olmasa bile dilediğimizce bölme işlemini sürdürebiliriz. Böle böle, bir atomun, bir elektronun, adını bilmediğim birçok parçacığın boyutlarından daha küçük bir sayı elde ederiz. Oysa fiziksel uzay durmadan ikiye bölünmez. Uzaklığı dilediğimiz kez ikiye bölebiliriz, ama fiziksel uzayı dilediğimiz kez ikiye bölemeyiz. Bir zaman sonra, fizik/doğa, uzayı ikiye bölmemizi engeller. Demek ki iki nokta arasındaki fiziksel uzayla bu iki nokta arasındaki matematiksel uzaklık aynı şey değildir. Uzaklığı bölebiliyoruz ama uzayı bölemiyoruz. Dolayısıyla matematikle yaşadığımız fiziksel uzay tam bir uzlaşım içinde değildir .
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusu, matematiksel kavramların yaratı mı, yoksa keşif mi olduğu sorusuyla içiçedir.
Örneğin Amerika keşfedilmiştir, yaratılmamıştır; güneşin varlığı insanın varlığından bağımsızdır; yerçekimi insandan ve hatta yeryüzünden bağımsız vardır.
İnsan olmasaydı yerçekimi yasası bulunamazdı, ama bundan yerçekiminin olmadığı sonucu çıkmaz, hatta yerçekimi yasasının da insansız varolamayacağı sonucu çıkmaz.
Öklid düzlemi, üçgen ve açı gibi geometrik kavramlar, grup, halka ve cisim gibi cebirsel yapılar, iki değerli (doğru ve yanlış değerli) mantık birer keşif midir, yoksa matematikçilerin yaratıları mıdır?
Bir başka deyişle matematik, Amerika anakarası gibi, güneş gibi, yerçekimi gibi, bizim dışımızda var mıdır? Matematiksel kavramların varlıkları da insandan bağımsız mıdır?
Tartışma bizi zorunlu olarak bu soruya da sürükleyecek.
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu yanıtlamak için, her şeyden önce doğayı tanımlamalıyız. Doğa ne demektir? Doğa tanımlanmadıkça, matematiğin doğada olup olmadığı sorusu tam anlamı olmayan, ancak sezgiyle kavranabilen bir soru olarak kalacaktır.
Bu yazıda doğayı tanımlamaya kalkışmayacağım. Çünkü bu yazının amacı doğayı tanımlamak değil, “doğa” kavramına açıklık getirmek. Bu yazıda, matematiğin doğada bulunmadığını savunanların doğa kavramını sorgulayacağım. Bu kavramın daha geniş tutulması gerektiğini, matematiğin doğada olmadığına inananların oldukça basitleştirilmiş ve bence eksik bir doğa kavramına sahip olduklarını ve ne derece soyut olursa olsun, matematiği matematikçinin yaratmadığını ama keşfettiğini, yani matematiğin insandan bağımsız varolduğunu savunacağım.
Her ne denli “doğa” sözcüğünü tanımlamayacaksam da, sözcüğü çok geniş anlamda kullandığımı belirtmeliyim. “Doğa” sözcüğü salt yaşadığımız dünyayı ve yakın çevresini kapsamıyor bu yazıda. Çok daha geniş anlamda kullanıyorum sözcüğü. Belki de “doğa” yerine “evren” ya da “dışdünya” demem daha doğru olurdu.

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:19

MATEMATİĞİN KAYNAĞI DOĞADIR...

Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu bir yana bırakalım önce. Matematik ve matematiksel kavramlar – doğada veya bir başka yerde – var mıdır? Bu soruyu ele alalım.
Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir” kavramı, “çember” kavramı, “pi” kavramı vardır. Matematiksel kavramlar – doğada olsunlar veya olmasınlar, matematikçilerin yaratısı olarak bile olsa, düşünce olarak bile olsa, soyut düzeyde bile olsa – vardırlar. Matematikçiler bu kavramları tanımlamışlardır. Bundan kuşkumuz yok. Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiksel kavramların doğada olup olmadıkları sorusu sorulmazdı bile. Doğruluğu apaçık belli olan bu sözlerde derin bir gerçek aramasın okur, herkesin bildiğini yineliyorum.
Bu varolan kavramlar yoktan mı varolmuştur? Yoktan hiçbir şeyin varolmayacağını biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Matematiksel kavramlar da yoktan varolmamıştır. “Saf düşünce ürünü” diye bir şey yoktur, olamaz. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin varolabileceğini düşünmek olur.
Her düşünce ürünü gibi matematiğin de kaynağı dış dünyamızdır. Yani matematik dış dünyadan tamamıyla bağımsız değildir. En azından matematiğin ana kaynağı matematikçinin dışındadır.

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:21

MATEMATİK VE TEKNOLOJİ

Günümüzün ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz gözönüne alınınca, matematiğin büsbütün doğadan bağımsız olmadığı da belli oluyor zaten. Matematiğin çok soyut kavramları bile zamanla uygulama alanı bulabiliyor. Bu da, elbette, matematiğin doğayı üç aşağı beş yukarı kavrayabildiğini, betimleyebildiğini, doğanın yasalarını gerçeğe oldukça sadık kalarak kâğıda dökebildiğini gösterir. Demek ki matematik, bir ölçüde bile olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada “bir” olsun veya olmasın, matematikteki “bir” kavramıyla tansıklar yaratılıyor: uzaya gidiliyor, gökdelenler dikiliyor, uydular aracılığıyla dünyanın bir köşesiyle öbür köşesi arasında ses ve görüntü bağlantısı kuruluyor… Matematik doğanın yasalarını ve mantığını anlamaya çalışan ve bunda da çok başarılı olan bir bilim dalı ve bir uğraştır.
Bu teknolojik gelişmelerin soyut matematikle değil, fizikle, kimyayla, mühendislikle ve uygulamalı matematikle gerçekleştiği ileri sürülebilir. Bu sav hem doğrudur hem yanlış. Bir yandan kuramsal ve soyut matematik en beklenmedik anda uygulama alanı bulabilmektedir, öte yandan gelecekte bile nasıl uygulanacağı bilinmeyen matematiksel araştırmalar yapılmaktadır. Aynı ikilem kuramsal fizik için de geçerlidir. Kaldı ki, teknolojiye uygulanan fizik, kimya ve mühendislik de ilk önce kâğıt üzerinde yapılıyor, uygulamaya sonra geçiliyor.
Matematiğin yararlarından bir başka yazımda sözedeceğimden bu konuyu kısa kesiyorum. Şimdilik şunu aklımızda tutalım: 1) Uygulanan matematik vardır, 2) Bugün uygulama alanı bilinmeyen soyut matematik vardır ve yapılmaktadır, 3) Bugün soyut sanılan matematik gelecekte doğrudan ya da dolaylı olarak uygulama alanı bulabilir (bulamayabilir de.)

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:22

KONU ANLATIMLARI
ÜSLÜ SAYILAR

A. TANIM

a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı
olmak üzere,

ifadesine üslü ifade denir.
k . an ifadesinde k ya katsayı,
a ya taban n ye üs denir.

B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELLİKLERİ

1) a ¹
0 ise, a0 = 1 dir.
2) 00 tanımsızdır.
3) n Î
IR ise, 1n= 1 dir.
4)

5) (am)n = (an)m
= am . n
7)

Pozitif sayıların bütün kuvvetleri
pozitiftir.
9) Negatif sayıların; çift kuvvetleri
pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
10) n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel)
sayı olmak üzere,

(– a)2n = a2n ifadesi
daima pozitiftir.
(– a2n) = – a2n ifadesi
daima negatiftir.
(– a)2n + 1 = – a2n + 1
ifadesi

a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.

11) (n + 1) basamaklı

sayısı

a . 10n ye eşittir.

12)

C. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

x . an + y . an – z . an = (x + y – z)
. an
am . an = am + n
am . bm = (a . b)m

D. ÜSLÜ DENKLEMLER

a ¹
0, a ¹
1, a ¹ – 1 olmak üzere,
ax = ay ise x = y
dir.
n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn
= yn ise,
x = y dir.
n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn
= yn ise,
x = ± y dir.

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:25

A. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.
Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı
bir sayıdır.
B. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.
Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene
taban denir.
T taban olmak üzere,
(abcd)T = a . T3 + b . T2 + c . T + d dir.

Burada,

T, 1 den büyük doğal sayıdır.
a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
(abc, de)T = a . T 2 + b . T + c + d . T – 1
+ e . T – 2 dir.

1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi
Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür.
Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.
Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son
rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.
2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi
Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana
göre çözümlenir.
3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması
Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen
tabana dönüştürülür.
4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri
Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.
T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem
gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır.
Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.
Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan
1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri
kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:26

RASYONEL SAYILAR

A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹
0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.

Pay

Kesir cizgisi

Payda

B. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere
basit kesir denir.

basit kesir ise

pozitif basit kesir ise ;

2. Bileşik Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük
veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

bileşik
kesir ise,

3. Tam sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere
tam sayılı kesir denir.

Her bileşik kesir bir tamsayılı kesir biçiminde yazılabilir.

C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

k ¹
0 olmak üzere,

2. Toplama - Çıkarma

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler
genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır)
ortak payda alınır.

3.Çarpma -Bölme

4. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden
bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre
yapılır.

Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
Çarpma - bölme yapılır.
Toplama - çıkarma yapılır.

Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında
öncelik taşımaz. Özellikle çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle
belirlenir.
D. ONDALIKLI SAYILAR

1. Ondalıklı Sayı
a bir tam sayı ve n bir sayma sayısı ise

biçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı sayı denir.

Burada a ya tam kısım, bcd ye de
ondalıklı kısım denir.
2. Devirli (Periyodik) Ondalıklı Sayı
Bir ondalıklı sayıda ondalıklı kısım belli bir kurala göre
tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir.
Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.
a,bcbcbc … = a,
bc dir.
3. Ondalık Sayılarda İşlemler
a. Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken,
virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma
işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından
virgülle ayrılır.
b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken,
virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki
basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken,
bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölen de aynı 10
un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.
4. Devirli Ondalık Sayıların Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

Tüm sayı - Devretmeyen sayı
Verilen sayı= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

Devreden rakam sayısı kadar 9devretmeyen

kadar rakam sayısı kadar 0(sıfır)

Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.
3,9
=4; 3,59 =3,6 dir.
E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan
biri kullanılır.
I. Yol:
Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük
olan diğerlerinden daha büyüktür.
II. Yol:
Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük
olan diğerlerinden daha büyüktür.
III. Yol:
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde,
payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik
kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.
Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir.
Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.
F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

arasında sayılamayacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak
için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde
eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.
x,

kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:27

POLİNOMLAR

A. TANIMn bir doğal sayı ve a0, a1, a2, … , an
– 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an
– 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden
polinom (çok terimli) denir.
B. TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an
– 1xn – 1+anxn
olmak üzere,
Ü a0, a1, a2,
… , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları
denir.
Ü a0, a1x, a2x2,
… , an–1xn – 1, anxn in her birine
polinomun terimleri denir.
Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2
teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.
Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde
derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin
derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.
Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun
sabit terimi denir.
Ü a0 = a1 = a2
= … = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu
denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
Ü a0 ¹
0 ve a1 = a2 = a3 = … an – 1 = an
= 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.
Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.
Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.
C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki
değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.
D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine
eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1)
dir.
Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.
Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine
1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.
P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı
P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.
Ü P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + …
Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + …
olmak üzere,
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + …
P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + …
olur.
2. Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile
ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.
3. Bölme
der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x)
¹ 0 olmak üzere,

P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur.
Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Ü der [K(x)] < der [Q(x)]
Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna
tam bölünür.
Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.
Bunun için;

Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı
dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem
uygulanır.
Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden
küçük oluncaya kadar devam edilir.

F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.
1. Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine

yazılır.

P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda
yazılarak kalan bulunur.
P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom
Q(x) ise,
P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.
P(b) = mb + n … (1)
P(c) = mc + n … (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.
Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.
3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan
polinom bulunur.
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti
bulunur.
2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.

P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak
için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.

4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n
Î N+)

P(x) = axn + bxm + d ise,
Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0
Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm
– 2 dir.
P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x)
polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,
P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan
K(x) = (x – a) k2 + k1 olur.
G. BASİT KESİRLERE AYIRMA
a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.

Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen

de yazılır. Aynı işlemler B için de yapılır.

H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER
m > n olmak üzere,
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun.
Buna göre,

der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m –
n dir.
k Î N+ için der[Pk(x)]
= k . m dir.
der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:29

PERMÜTASYON

I. PERMÜTASYONA. SAYMANIN TEMEL KURALI1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu
işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan
birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte
m . n yolla yapılabilir.
B. FAKTÖRİYEL
1den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve
n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2
……………..
……………..
……………..
n! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n
Ü n! = n . (n – 1)!
Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.
C. TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı
r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,

1) P(n,
n) = n! 2) P(n, 1) = n 3) P(n, n – 1) = n! dir.
D. TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten,
… , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.

n = n1 + n2 + n3 + … + nr

olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması
denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :

(n – 1)! dir.

n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa
sıralanmalarının sayısı :

II. KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin
r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması)
denir.
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı

Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.

Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen
sayısı:

Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;

a) Çizilebilecek doğru sayısı

b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan

tane üçgen çizilebilir.
Aynı düzlemde birbirine paralel
olmayan n tane doğru en çok

farklı noktada kesişirler.
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan
n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru
da birbirine paraleldir.

Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan

tane paralelkenar oluşur.
Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı
n tane çemberin en çok

tane kesim noktası vardır.

III. BİNOM AÇILIMI
A. TANIM
n Î IN olmak üzere,

ifadesine binom açılımı denir.
Burada;

sayılarına binomun katsayıları denir.

ifadelerinin her birine terim denir.

ifadesinde

katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin
çarpanları denir.
B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı
n dir.
3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1
yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n
= 2n dir.
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine
göre dizildiğinde;
baştan (r + 1). terim :

sondan (r + 1). terim :

(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+),
2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) … dır.
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı
olan terimin işareti (–) dir.
Ü n Î N+
olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim

Ü n Î IN+
olmak üzere,
(xm +

)n açılımındaki sabit terim,
ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri
yazılarak bulunur.
Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x
+ y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için

x = 0 ve y = 0 yazılır.

Ü (a + b + c)n nin açılımında
ak . br . cm li terimin katsayısı;

... GöZYaŞıM ... · 03-03-2008, 16:31

OLASILIK

A. TANIMOlasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir zar atıldığında üst yüze
gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi
günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır.
B. OLASILIK TERİMLERİ
Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit
etme işlemine deney denir.
Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.
Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek
uzayın her bir elemanına örnek nokta denir.
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.
Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız)
olay denir.
Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin)
olay denir.
A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.

A Ç B =
Æ

ise, A ve B olayına ayrık olay denir.
C. OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun.
P : K ® [0, 1]
biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A
Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı
denir.
Ü1) Her A Î
K için, 0 £ P(A) £
1 dir. Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır.
2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin
olayın olasılığı 1 dir.
3) A, B Î K
ve A Ç B = Æ ise,
P(A È
B) = P(A) + P(B) dir.
Ü 1)

2) A Ì B ise
P(A) £ P(B) dir.
3)
A, A nın tümleyeni olmak üzere,
P(A) + P(–A) = 1 dir.
4) P(A È B) = P(A)
+ P(B) – P(A Ç B)
5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer
ayrık bütün olayları ise,
(E = A È
B È C)
P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir.
Ü 1) n, paranın atılma sayısını veya para
sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n
dir.
Ü 2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını
göstermek üzere, örnek uzay 6n dir.
D. BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR
Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya
bağımsız olaylar denir.
Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir.
Ü A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin
gerçekleşme olasılığı :
P(A Ç B) = P(A) . P(B) dir.
E. KOŞULLU OLASILIK
A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda,
A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B)
ile gösterilir.

Bir deneyde bir A olayının olasılığı x olsun. Bu deney n kez tekrarlandığında
A olayının k kez gerçekleşmesi olasılığı,

03-03-2008, 16:17	#1
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	(MatematikTarihi)Matematik Nedir? Ne Değildir? İnsanlar arasındaki bir takım gereksinmelerden matematik doğmuştur. Tarihi incelersek; ilk çağlarda bile bugün bilgisayarlarda kullanılan ikili sistemin Mısır aritmetiğinde kullanıldığını görürüz. Yine o çağlarda dairenin çevresini, Nil Nehri’nin taşma zamanlarını saptamak için mevsimleri ve böylece 365 günü içeren takvimlerin hazırlandığını belirleriz. Başka ülkelerin bilimlerini inceleyen yunanlılarda ilk köklü bilgileri mısırlılardan öğrenmiş oldular. Yine geçerliliğini her zaman koruyan “*Bir dik açılı üçgenin uzun kenarının karesinin, öteki iki kenarın kareleri toplamına eşit olduğunu”* belirten ünlü Pisagor Teoremi M.Ö. 570 yıllarında kanıtlanmıştır. Hintliler bugün de tüm dünyada kullanılan 0 ıda içeren onluk sayı sistemini kurmuşlardır. En büyük Arap matematikçisi El-Harizmi (780-850) cebirin kurucusudur. Orta çağ Avrupa matematiği bu bilginin eserlerinden oluşmaktadır. Araplar dünyaya eski ve çağdaş bilim konusunda eşsiz hizmette bulundular. Hint ve Çin buluşlarını dünyaya tanıttılar. Ancak modern bilimin kurucusu olamadılar. Tüm ilkel toplumlarda ticaret takastan öte bir nitelik kazanır kazanmaz sayı ve ölçü kavramları gelişti. Sayı kavramı matematiğin temelini oluşturur. Sayılar çiftçilerin ürünlerini sayma gereksinmesinden doğmuştur. Sayılar alışverişi de olanaklı kılan para sistemlerinin ortaya çıkmasına yol açmıştır. Daha sonra yunanlılar matematiksel usa vurmayı mantıksal bir temele oturtarak ve böylece kendilerini kanıtlayıcı olmayan önermelerin, temel varsayımlardan çıkarılabilmesini sağlayarak matematiği kesin bir bilim dalı haline getirdiler. Ayrıca müzik ve resimle ilişkiler kurarak mantıksal düşünüşlerini sanatları da içerecek biçimde genişlettiler. Fakat matematik 16. yüzyıla dek pek fazla gelişmedi. Günümüzde tüm dünya eşi görülmemiş bir değişim yaşamaktadır. İnsanlar günlük yaşamda sık sık aritmetikten yararlanmakla birlikte üzerinde hemen hemen hiç düşünmezler. Örneğin; günlük dilde kullandığımız bir çok sözcüğün anlamını da pek bilmeyiz. Sorulursa şaşırırız, bocalarız. Aslında düşünmeden yaptığımız bir çok davranışın nedenlerini de araştırmayız. Herhangi bir şey satın alan biri ödediği ücreti ve geri aldığı para üstünü sayarken ticaretin başladığı dönemden beri kullanılan bilgileri kullandığını fark etmez bile, temel toplama ve eşitlik kavramlarını kullandığını düşünmez. Aritmetiğin dört temel işlemi vardır. Bunlar toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir. Bu dört temel kural yaşamın her safhasında geçerliliğini yitirmez. Okullarımızda birkaç yıldan beri matematik dersleri öğretim programları Modern Matematik adıyla okutulmaktadır. Neden Modern Matematik denildiğini bir türlü anlayamıyorum. Tüm öğrenciler, veliler buna tepki gösteriyor. Tepkinin en fazlası ise “çocuklarımız dört işlemi öğrenemiyorlar” savınadır. Oysa bu sav tümüyle yanlış. Dört işlem de öğretiliyor yaşam için gereksinim duyulan tüm konular da. Öğrencinin sınıfları değiştikçe konuları da değişecektir. Matematikte gelişerek devam edecektir. Her şeyden önemlisi içinde yaşadığımız dünyada bilim, teknik geliştikçe bizde bu değişime ayak uyduracağız. Değişimleri eğitim yaşantımıza uygulamak zorundayız. Dün 20. yüzyıldı bugün 21. yüzyıl. Dün daktilo ile yazıyorduk, bugün bilgisayarla ve dünya parmaklarımızın ucunda. Biz tekrar dört işleme dönelim. Bunların bir çoğu sadece sağduyu yoluyla ortaya konmuş olan temel yasalar izlenerek yapılır. Değişme özeliği hem toplamada hem çarpmada vardır. Bu yasa yalnızca 7 ile 5 in toplama örneğinde olduğu gibi 7+5 ya da 5 ile toplama örneğindeki 5+7 nin toplamına eşit olduğunu söyler. Başka bir deyişle sayıları toplama sırası önemli değildir. Aynı özelik çarpma işleminde de vardır. 4×3 çarpma işlemi 3×4 olarak gösterilirse sonuç değişmez. Bu bize matematik programının değişmesiyle matematiğe çağdaş bir boyut kazandırdığımızı anlatıyor. Bu boyut matematiğe giren yorumdur. 2×2 her zaman 4 değildir. Çok eskiden televizyonda zevkle izlediğimiz bir dizi vardı.”Gökyüzü Prensleri” Adım adım uçağın evrimini anlatmaktaydı. Burada uçağı evrimleştirenlerin nasıl uğraş verdiklerini izledik. Matematiği kullanarak önce kağıt üzerinde uçağın modelini yaptılar. Yaptıkları matematik işlemleri ile uçağın havada ne kadar kalacağını hesapladılar. Bu bizim matematikte yaptığımız birebir eşleme yöntemidir. Aslında eşelemeye çok daha tanıdık bir çok örnek verebiliriz. Harita dünya üzerindeki noktalarla birebir eşlemedir. Dikkat ettiniz mi? Konuşmaya yeni başlayan bir çocuk elinin parmaklarıyla evdeki insanları eşleyerek sayar. Alışveriş yaptığımızda parayla, aldığımız malı eşleriz. Sayı kavramı matematiğin temel bir kavramıdır demiştik. Oysa sayı yaşamın temel bir kavramıdır. Tek ile çok arasındaki kavramı çocuk çok iyi kavrar. Deniz kıyısında bir çok çakıl taşı gören bir çocuk bunların arasından sadece bir tane alabilir. Bir avuç aldığı zaman toplamdan az ama bir taneden fazla aldığını bilir. Kaç taşa sahip olduğu konusunda bir fikir edinebilmek için elindeki taşları sayar. Örneğin 15 kalem. Burada “15″ adet bildirmektedir. 15 t0p, 15 martı, 15 ekmek gibi. Sayılabilecek tüm cisimlerin ortak bir özeliğidir. Yetişkin insanlar bir çok temel kavramı anlamakta zorluk çekerler ama çocuklar yaşamlarının ilk evrelerinde bu kavramlar konusunda sezgisel bir anlayışa sahiptirler. Her aile bir kümedir. Anne, baba ve çocuklar. Bir çok ailenin oluşturduğu kümeler topluluğu evrensel kümeyi oluşturur. Her aile alt parçalara ayrılabilir. Bunlara alt kümeler denir. İki küme kesişebilir veya birleşebilir. Oluşan yeni kümelere kesişim veya birleşim kümeleri denir. Küme işlemlerindeki kesişim ve birleşim, mantıktaki niceleyicilerin karşılığıdır. Bu ilişki kümelerdeki bazı önermelerin mantıksal önermelerle ifade edilmesini mümkün kılar. Öyleyse matematik çağdaş yaşamla iç içedir. Her zaman moderndir. Biri diğerinden soyutlanamaz. Ölçme bugün yaşamımızda büyük bir yer tutar. Fizik dersinde yaptığımız aynı deneyin sonuçlarının farklı gruplarının farklı ölçülerle değerlendirildiğini görürüz. Bu o deneydeki geçerliliği mi kanıtlar? Hayır sadece ölçmede farklılıklar vardır. “Burada en doğru ölçümü kim yapmıştır?” diye sorabiliriz. Yanıt ” Tüm öğrencilerdir.” Farklılık ölçü aletlerinin kullanılış biçiminde kaynaklanmış olabilir. Yeri gelmişken kimin yazdığını bilmediğim bir öyküyü anlatmadan geçemeyeceğim. Dört kişiden biri kimyacı, biri fizikçi, biri matematikçi ve bir diğeri de insan bilimcidir. Her birine birer barometre verilerek bir kilise kulesinin yüksekliğini ölçmeleri söyleniyor. Kimyacı gazlar konusunda her şeyi biliyordu. Kulenin altındaki ve üstündeki hava basınçlarını ölçtü (0-60) metre arasında dedi. Fizikçi pahalı araçları umursamazca kullanmaya alışkındı. Barometresini kuleden aşağı attı ve düşüş süresini ölçerek yüksekliği (22-27) metre arasında hesapladı. Matematikçi kulenin gölgesinin uzunluğunu barometrenin uzunluğu ile karşılaştırdı ve (30-30,5) metre arasında dedi. İnsan bilimci ise barometreyi sattı elde ettiği parayla kilisenin zangocuna birkaç kadeh içki ısmarladı. Ve kule yüksekliğinin 30,4 metre olduğunu öğrendi. Bu öyküden de anlaşılacağı gibi değişik ölçmelerin değişik sonuçlar vereceği ortadadır. Modern dünyada yaşam büyük ölçüde insanın kesin ölçümler yapabilme yeteneğine bağlıdır. Dünyanın çeşitli yerlerinde ölçümler için uzunluk, zaman, kütle, gerilim ve bir çokları için standart ölçü birimleri kullanılır. Bunun sonucu olarak Japonya’da yapılan bir mil yatağı beş yıl önce Almanya’da yapılmış olan bir motor miline tıpatıp uyabilir. Sümerler bir elin parmakları olan 10 sayısını ve onluk sayma sistemini kullanmışlardır. 12 aralığını bularak zamanı saatle, 60 sayısından yararlanarak zamanı ölçen saati, dakikayı, saniyeyi bulmuşlardır. Hiçbir şey birden ortaya çıkmamıştır. Ama matematik bir gereksinmedir. Yaşamın bir parçasıdır. Yaşamın her evresi matematiktir. Doğru düşünme kurallarını öğretir. Düşünce ile somut kavramlar arasında bağıntı kurar. Sosyal ve bilimsel gelişme sürecini çabuklaştırır. İnsan zekasını geliştirir. Bunun en yakın örneği; 10 yaşındaki bir öğrencinin bir üniversitenin matematik bursunu kazanmasıdır. Aslında her çocuk doğduğunda bir harikadır. Onu işlemek yaşamın en ileri seviyesine götürmek eğitmek güç iştir. Kendimizden vermeden, sürekli alarak hem matematik hem de hiçbir şey öğretilemez. Başarılı olmak değil, öğrenmek bile mümkün değildir. *Matematik tüm yaşamdır. Yaşamı seviyoruz, öyleyse matematiği de sevmeliyiz.* önermesinin doğruluk değeri daima 1 olmalıdır. Gelişen, değişen, hem de hızla değişen dünyaya seyirci kalamayız. Büyük insan önderimiz Atatürk matematiği dilimizde daha anlaşılır bir biçime getirmiştir. Ona yaşamımızı borçluyuz. Bizzat kendisi matematikte kullanılan terimlerin adlarını bizim anlayabileceğimiz günlük konuşma dilimize çevirmiştir. Bugün doğru düşünebiliyorsak onun sayesindedir. İleriyi gören bakışları sayesinde bizi uygarlık seviyesinin üstüne çıkarmıştır. Bugün bilimin her dalında araştırma yapıp dünyaya kendini kanıtlamış bilim adamlarımız vardır. Ulusumuzu, vatanımızı her şeyden önemlisi insanlarımızı severek sürdür düğümüz eğitim ve öğretimimizde her an öğrenmeğe araştırmaya ve uygar olmaya özen göstermeliyiz. Matematik yaşamın kendisidir.

03-03-2008, 16:22	#5
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	KONU ANLATIMLARI ÜSLÜ SAYILAR A. TANIM a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere, ifadesine üslü ifade denir. k . an ifadesinde k ya katsayı, a ya taban n ye üs denir. B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELLİKLERİ 1) a ¹ 0 ise, a0 = 1 dir. 2) 00 tanımsızdır. 3) n Î IR ise, 1n= 1 dir. 4) 5) (am)n = (an)m = am . n 7) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. 9) Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. 10) n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere, (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir. (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir. (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir. 11) (n + 1) basamaklı sayısı a . 10n ye eşittir. 12) C. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM x . an + y . an – z . an = (x + y – z) . an am . an = am + n am . bm = (a . b)m D. ÜSLÜ DENKLEMLER a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ – 1 olmak üzere, ax = ay ise x = y dir. n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn = yn ise, x = y dir. n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn = yn ise, x = ± y dir.

03-03-2008, 16:25	#6
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	A. SAYI BASAMAĞI Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir. Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır. B. ÇÖZÜMLEME Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir. Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir. T taban olmak üzere, (abcd)T = a . T3 + b . T2 + c . T + d dir. Burada, T, 1 den büyük doğal sayıdır. a, b, c, d rakamları T den küçüktür. Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir. (abc, de)T = a . T 2 + b . T + c + d . T – 1 + e . T – 2 dir. 1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir. Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur. 2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir. 3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür. 4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır. T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir. Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.

03-03-2008, 16:26	#7
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	RASYONEL SAYILAR A. TANIM a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir. Pay Kesir cizgisi Payda B. KESİR ÇEŞİTLERİ 1. Basit Kesir İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. basit kesir ise pozitif basit kesir ise ; 2. Bileşik Kesir İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir. bileşik kesir ise, 3. Tam sayılı Kesir Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir. Her bileşik kesir bir tamsayılı kesir biçiminde yazılabilir. C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER 1. Genişletme ve Sadeleştirme k ¹ 0 olmak üzere, 2. Toplama - Çıkarma Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır. 3.Çarpma -Bölme 4. İşlem Önceliği Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır. Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir. Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır. Çarpma - bölme yapılır. Toplama - çıkarma yapılır. Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında öncelik taşımaz. Özellikle çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle belirlenir. D. ONDALIKLI SAYILAR 1. Ondalıklı Sayı a bir tam sayı ve n bir sayma sayısı ise biçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı sayı denir. Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir. 2. Devirli (Periyodik) Ondalıklı Sayı Bir ondalıklı sayıda ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir. Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur. a,bcbcbc … = a, bc dir. 3. Ondalık Sayılarda İşlemler a. Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır. b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır. c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır. 4. Devirli Ondalık Sayıların Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi Tüm sayı - Devretmeyen sayı Verilen sayı= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ Devreden rakam sayısı kadar 9devretmeyen kadar rakam sayısı kadar 0(sıfır) Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır. 3,9 =4; 3,59 =3,6 dir. E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır. I. Yol: Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür. II. Yol: Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür. III. Yol: Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür. Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür. Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir. F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR arasında sayılamayacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir. x, kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

03-03-2008, 16:27	#8
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	POLİNOMLAR A. TANIMn bir doğal sayı ve a0, a1, a2, … , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir. B. TEMEL KAVRAMLAR P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn olmak üzere, Ü a0, a1, a2, … , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir. Ü a0, a1x, a2x2, … , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir. Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir. Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir. Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir. Ü a0 = a1 = a2 = … = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır. Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = … an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır. Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir. Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır. C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1 biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir. D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir. Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir. Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır. Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır. P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir. Ü P(x) polinomunun; Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER 1. Toplama ve Çıkarma P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + … olmak üzere, P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + … P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + … olur. 2. Çarpma İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir. 3. Bölme der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere, P(x) : Bölünen polinom Q(x) : Bölen polinom B(x) : Bölüm polinom K(x) : Kalan polinomdur. Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x) Ü der [K(x)] < der [Q(x)] Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür. Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)] Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır. Bunun için; Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır. Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır. Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir. F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz. 1. Bölen Birinci Dereceden İse Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır. P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir. P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan 2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur. P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise, P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur. P(b) = mb + n … (1) P(c) = mc + n … (2) (1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur. Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir. 3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur. 1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur. 2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır. P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır. 4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+) P(x) = axn + bxm + d ise, Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0 Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir. P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise, P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan K(x) = (x – a) k2 + k1 olur. G. BASİT KESİRLERE AYIRMA a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere, eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur. Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır. Aynı işlemler B için de yapılır. H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER m > n olmak üzere, der[P(x)] = m der[Q(x)] = n olsun. Buna göre, der[P(x) ± Q(x)] = m tir. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir. k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir. der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.

03-03-2008, 16:18	#2
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	MATEMATİK DOĞADA VAR MIDIR ? Matematiksel kavramlar doğada var mıdır? Olmadığını savunanlar var. Aşağı yukarı şöyle savunuyorlar: Doğada matematiksel bir nokta yoktur örneğin. Çünkü matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gözlemlenebilir. Kalemi kâğıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz “nokta” boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. Elektronun, üç boyutu ve az da olsa bir ağırlığı vardır. “İşte nokta” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır. “Nokta” kavramı insanların uydurması/yaratısıdır. Doğada matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kâğıdın üstüne çizdiğimiz “düz” çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne denli ince yazarsa yazsın, çizdiğimiz her “düz” çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur. Doğada “sonsuz” da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır. Doğada pi sayısı da yoktur. Çünkü pi sayısı 3,141592653589… diye sonsuza uzayıp giden (uzayıp gitmesi gereken) bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir düzene göre de yinelenmezler. Bu yüzden, yani sonsuz olmadığından doğada pi de yoktur. Kimse pi’yi tam olarak yazamaz. pi’yi, bir çemberin (dairenin) çapına bölündüğünde elde edilen sayı olarak tanımlamak, pi’nin doğada olduğunu göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp bölme işlemini yaptığımızda, pi’yi değil, pi’ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember yoktur! Doğada “işte çember” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin yarattıkları bir kavramdır . Zaten uygulamada hiçbir zaman pi gibi gerçel sayılara gereksinmeyiz. 3,14159 = 314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamada yeterlidir. Bu da, pi’nin doğada olmadığı savını desteklemez mi? Doğada pi olmadığı gibi, 0,9999999… sayısı da yoktur . Çünkü bu sayıyı yazmak için virgülden sonra sonsuz tane 9 koymalıyız ve ne yazık ki bu iş için yeterince zamanımız yoktur! Doğada “bir” yoktur. Doğada olsa olsa “bir elma, bir armut” vardır. Ama doğada “bir” yoktur. Hatta doğada “bir elma” bile yoktur. Elmayla elmanın bulunduğu ortam arasındaki sınır tam belli değildir ki! Elmayla, elmanın bulunduğu ortam arasında sürekli molekül alışverişi vardır. Örneğin çürümeye yüz tutan bir elmanın tam ne zaman elmalıktan çıktığını söyleyebilir miyiz? Her şey değiştiğinden, hiçbir şey olduğu gibi kalmadığından doğada “bir” yoktur. Doğada “bir” olmadığı gibi başka sayı da yoktur. Sayıları insanlar yaratmışlardır. Ya sıfır? Sıfır var mıdır doğada? Sıfır, olmayan nesne sayısıdır. Olan nesneleri sayamadığımızı yukarda gördük, olmayan nesneleri saymak daha da zor olsa gerek ! Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur. Daha soyut kavramları hele hiç yoktur! Matematiğin doğada olmadığı herhalde üç aşağı beş yukarı böyle savunulur. Bu felsefi hatta metafizik düşünceler hafife alınmamalı. Bir örnek daha vererek bu düşüncelerin yabana atılmaması gerektiğini göstereyim. Bildiğimiz uzayda iki nokta ele alalım. Bu iki nokta arasındaki uzay parçasının bir uzunluğu vardır. Diyelim 1 metre. Bu 1 metreyi ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz iki yarım metrenin herbirini de ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz çeyrek metreleri de ikiye bölebiliriz. Kuramsal olarak her sayıyı ikiye bölebileceğimizden, bölme işlemini sonsuza değin yapabiliriz. Sonsuza değin olmasa bile dilediğimizce bölme işlemini sürdürebiliriz. Böle böle, bir atomun, bir elektronun, adını bilmediğim birçok parçacığın boyutlarından daha küçük bir sayı elde ederiz. Oysa fiziksel uzay durmadan ikiye bölünmez. Uzaklığı dilediğimiz kez ikiye bölebiliriz, ama fiziksel uzayı dilediğimiz kez ikiye bölemeyiz. Bir zaman sonra, fizik/doğa, uzayı ikiye bölmemizi engeller. Demek ki iki nokta arasındaki fiziksel uzayla bu iki nokta arasındaki matematiksel uzaklık aynı şey değildir. Uzaklığı bölebiliyoruz ama uzayı bölemiyoruz. Dolayısıyla matematikle yaşadığımız fiziksel uzay tam bir uzlaşım içinde değildir . Matematiğin doğada olup olmadığı sorusu, matematiksel kavramların yaratı mı, yoksa keşif mi olduğu sorusuyla içiçedir. Örneğin Amerika keşfedilmiştir, yaratılmamıştır; güneşin varlığı insanın varlığından bağımsızdır; yerçekimi insandan ve hatta yeryüzünden bağımsız vardır. İnsan olmasaydı yerçekimi yasası bulunamazdı, ama bundan yerçekiminin olmadığı sonucu çıkmaz, hatta yerçekimi yasasının da insansız varolamayacağı sonucu çıkmaz. Öklid düzlemi, üçgen ve açı gibi geometrik kavramlar, grup, halka ve cisim gibi cebirsel yapılar, iki değerli (doğru ve yanlış değerli) mantık birer keşif midir, yoksa matematikçilerin yaratıları mıdır? Bir başka deyişle matematik, Amerika anakarası gibi, güneş gibi, yerçekimi gibi, bizim dışımızda var mıdır? Matematiksel kavramların varlıkları da insandan bağımsız mıdır? Tartışma bizi zorunlu olarak bu soruya da sürükleyecek. Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu yanıtlamak için, her şeyden önce doğayı tanımlamalıyız. Doğa ne demektir? Doğa tanımlanmadıkça, matematiğin doğada olup olmadığı sorusu tam anlamı olmayan, ancak sezgiyle kavranabilen bir soru olarak kalacaktır. Bu yazıda doğayı tanımlamaya kalkışmayacağım. Çünkü bu yazının amacı doğayı tanımlamak değil, “doğa” kavramına açıklık getirmek. Bu yazıda, matematiğin doğada bulunmadığını savunanların doğa kavramını sorgulayacağım. Bu kavramın daha geniş tutulması gerektiğini, matematiğin doğada olmadığına inananların oldukça basitleştirilmiş ve bence eksik bir doğa kavramına sahip olduklarını ve ne derece soyut olursa olsun, matematiği matematikçinin yaratmadığını ama keşfettiğini, yani matematiğin insandan bağımsız varolduğunu savunacağım. Her ne denli “doğa” sözcüğünü tanımlamayacaksam da, sözcüğü çok geniş anlamda kullandığımı belirtmeliyim. “Doğa” sözcüğü salt yaşadığımız dünyayı ve yakın çevresini kapsamıyor bu yazıda. Çok daha geniş anlamda kullanıyorum sözcüğü. Belki de “doğa” yerine “evren” ya da “dışdünya” demem daha doğru olurdu.

03-03-2008, 16:19	#3
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	MATEMATİĞİN KAYNAĞI DOĞADIR... Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu bir yana bırakalım önce. Matematik ve matematiksel kavramlar – doğada veya bir başka yerde – var mıdır? Bu soruyu ele alalım. Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir” kavramı, “çember” kavramı, “pi” kavramı vardır. Matematiksel kavramlar – doğada olsunlar veya olmasınlar, matematikçilerin yaratısı olarak bile olsa, düşünce olarak bile olsa, soyut düzeyde bile olsa – vardırlar. Matematikçiler bu kavramları tanımlamışlardır. Bundan kuşkumuz yok. Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiksel kavramların doğada olup olmadıkları sorusu sorulmazdı bile. Doğruluğu apaçık belli olan bu sözlerde derin bir gerçek aramasın okur, herkesin bildiğini yineliyorum. Bu varolan kavramlar yoktan mı varolmuştur? Yoktan hiçbir şeyin varolmayacağını biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Matematiksel kavramlar da yoktan varolmamıştır. “Saf düşünce ürünü” diye bir şey yoktur, olamaz. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin varolabileceğini düşünmek olur. Her düşünce ürünü gibi matematiğin de kaynağı dış dünyamızdır. Yani matematik dış dünyadan tamamıyla bağımsız değildir. En azından matematiğin ana kaynağı matematikçinin dışındadır.

03-03-2008, 16:21	#4
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	MATEMATİK VE TEKNOLOJİ Günümüzün ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz gözönüne alınınca, matematiğin büsbütün doğadan bağımsız olmadığı da belli oluyor zaten. Matematiğin çok soyut kavramları bile zamanla uygulama alanı bulabiliyor. Bu da, elbette, matematiğin doğayı üç aşağı beş yukarı kavrayabildiğini, betimleyebildiğini, doğanın yasalarını gerçeğe oldukça sadık kalarak kâğıda dökebildiğini gösterir. Demek ki matematik, bir ölçüde bile olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada “bir” olsun veya olmasın, matematikteki “bir” kavramıyla tansıklar yaratılıyor: uzaya gidiliyor, gökdelenler dikiliyor, uydular aracılığıyla dünyanın bir köşesiyle öbür köşesi arasında ses ve görüntü bağlantısı kuruluyor… Matematik doğanın yasalarını ve mantığını anlamaya çalışan ve bunda da çok başarılı olan bir bilim dalı ve bir uğraştır. Bu teknolojik gelişmelerin soyut matematikle değil, fizikle, kimyayla, mühendislikle ve uygulamalı matematikle gerçekleştiği ileri sürülebilir. Bu sav hem doğrudur hem yanlış. Bir yandan kuramsal ve soyut matematik en beklenmedik anda uygulama alanı bulabilmektedir, öte yandan gelecekte bile nasıl uygulanacağı bilinmeyen matematiksel araştırmalar yapılmaktadır. Aynı ikilem kuramsal fizik için de geçerlidir. Kaldı ki, teknolojiye uygulanan fizik, kimya ve mühendislik de ilk önce kâğıt üzerinde yapılıyor, uygulamaya sonra geçiliyor. Matematiğin yararlarından bir başka yazımda sözedeceğimden bu konuyu kısa kesiyorum. Şimdilik şunu aklımızda tutalım: 1) Uygulanan matematik vardır, 2) Bugün uygulama alanı bilinmeyen soyut matematik vardır ve yapılmaktadır, 3) Bugün soyut sanılan matematik gelecekte doğrudan ya da dolaylı olarak uygulama alanı bulabilir (bulamayabilir de.)

03-03-2008, 16:29	#9
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	PERMÜTASYON I. PERMÜTASYONA. SAYMANIN TEMEL KURALI1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir. 2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir. B. FAKTÖRİYEL 1den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir. 0! = 1 olarak tanımlanır. 1! = 1 2! = 1 . 2 …………….. …………….. …………….. n! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n Ü n! = n . (n – 1)! Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir. C. TANIM r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir. n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı, 1) P(n, n) = n! 2) P(n, 1) = n 3) P(n, n – 1) = n! dir. D. TEKRARLI PERMÜTASYON n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, … , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun. n = n1 + n2 + n3 + … + nr olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı, E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir. n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı : (n – 1)! dir. n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının sayısı : II. KOMBİNASYON TANIM r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir. n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur. Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı: Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla; a) Çizilebilecek doğru sayısı b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir. Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı noktada kesişirler. Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir. Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur. Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim noktası vardır. III. BİNOM AÇILIMI A. TANIM n Î IN olmak üzere, ifadesine binom açılımı denir. Burada; sayılarına binomun katsayıları denir. ifadelerinin her birine terim denir. ifadesinde katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir. B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ 1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır. 2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı n dir. 3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir. 4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde; baştan (r + 1). terim : sondan (r + 1). terim : (x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) … dır. Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir. Ü n Î N+ olmak üzere, (x + y)2n nin açılımında ortanca terim Ü n Î IN+ olmak üzere, (xm + )n açılımındaki sabit terim, ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur. Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır. Ü (a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin katsayısı;

03-03-2008, 16:31	#10
... GöZYaŞıM ... Yarbay Katılım Tarihi: Jun 2007 Mesajlar: 3,344	OLASILIK A. TANIMOlasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır. B. OLASILIK TERİMLERİ Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir. Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir. Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir. Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir. Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir. Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir. A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun. A Ç B = Æ ise, A ve B olayına ayrık olay denir. C. OLASILIK FONKSİYONU E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun. P : K ® [0, 1] biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir. Ü1) Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir. Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır. 2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir. 3) A, B Î K ve A Ç B = Æ ise, P(A È B) = P(A) + P(B) dir. Ü 1) 2) A Ì B ise P(A) £ P(B) dir. 3) A, A nın tümleyeni olmak üzere, P(A) + P(–A) = 1 dir. 4) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) 5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise, (E = A È B È C) P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir. Ü 1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n dir. Ü 2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6n dir. D. BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir. Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir. Ü A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı : P(A Ç B) = P(A) . P(B) dir. E. KOŞULLU OLASILIK A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir. Bir deneyde bir A olayının olasılığı x olsun. Bu deney n kez tekrarlandığında A olayının k kez gerçekleşmesi olasılığı,

Konu Araçları
Yazıcı Çıktısını Göster Sayfayı Eposta ile Yolla